Էջ:Հայկական Սովետական Հանրագիտարան (Soviet Armenian Encyclopedia) 3.djvu/415

ր աչւաի շարժման դեպքում կետի արագու–թյունը սահմանվում է որպես որևէ ժա–մանակահատվածում անցած ճանապարհի հարաբերությունն այդ հատվածին։ Ան–հավասարաչափ շարժվող կետի արագու–թյունը ևամեմատական չէ ժամանակին, ուսաի ամեն մի է պահի արագության մե–ծություն է ընդունվում [ , է+ At] ժամա–նակահատվածում կետի շարժման միջին c / s(t+ At)–տ(է) արագության I – J սահմա– հ հհ % v(t)=lim s(t+At)–տ(է) նային արժեքը д^о At (կոչվում է ակնթարթային արագություն)։ Նման տիպի սահմանի դիտարկման է հանգում նաև հարթ կորի որևէ M կետում շոշափող սահմանելու և կառուցելու խըն– դիրը։ Դիցուք, կորը տրվում t y=f(x) հավասարումով։ Շոշափող սահմանելու և դրա դիրքը որոշելու համար պետք է սահ– մանել և այնուհետև գտնել նրա անկյու–նային գործակիցը, այսինքն՝ շոշափողով և X առանցքով կազմված անկյան տան–գենսը (tgcc), որը սահմանվում է որպես որևէ MMi հատողի անկյունային գոր–ծակցի (tgP) սահմանային արժեք, երբ xi–Хо=Ах–>0 (տես նկ․)․ tga=limtg(3= Ax–>0 lim f(xo+ Дх)–f(x0)։ = Дх-»0 ^ ։ ՎերանալՈվ նման խնդիրների մեխանիկական կամ երկրաչափական բնույթից և ընդհան–րացնելով նշված մոտեցումը՝ կարելի է հանգել «ածանցյալ» վերացական հասկա–ցությանը․ ֆունկցիայի ածանցյալ է կոչ–վում ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանը (եթե այն գոյություն ունի), երբ արգումենտի աճը ձգտում է 0-ի։ У=f(x) ֆունկցիայի ածանց–յալը նշանակվում է f՝(x), y dy/dx, df/dx, Df(x)։ f(xi ,՝ xn) ֆունկցիայի ածանցյալն ըստ որևէ փոփոխականի (եթե մյուսնևրը սևեռած են) կոչվում է մասնա–կի ածանցյալ ըստ այդ վւոփոխականի։ Ֆունկցիայի ածանցյալի ածանցյալը (եթե գոյություն ունի) կոչվում է Երկրորդ կար–գի ածանցյալ և նշանակվում է Уfff d2f/dx2, D2f(x)։ Տանգունորեն սահման–վում և նշանակվում են ավելի բարձր (բնա–կան) կարգի ածանցյալներն ու մասնակի ածանցյալները, ո–րդ կարգի ածանցյալ–ները նշանակվում են y(n>, f , dnf/dxn, Dnf(x), իսկ մասնակի ածանցյալները՝ dnf г-Հ г–(cti+a2+․․․․+an=n)։ Եթե ax i i ox ո n ֆունկցիան x0 կետում ունի ածանց–յալ, ապա անընդհատ է այդ կետում։ Տա–կառակ պնդումն, ընդհանրապես, ճիշտ չէ։ Օրինակ, y=|x| ֆունկցիան անընդ–հատ է ամբողջ առանցքի վրա, բայց x = 0 կետում չունի ածանցյալ, որովհետև Ay/Ax ևարաբերության սահմանն այդ կետում գոյություն չունի։ Ածանցյալի օգնությամբ որոշվում են բնագիտության մի շարք կարևոր հասկացություններ, օրինակ, հո–սանքի ուժը և քիմ․ ռեակցիայի արագու–թյունը, համապատասխանաբար, որոշ– Aq AQ վում են I=lim և со=lim բանա– At–>0 At–>0 ձևերով, որտեղ Aq-ն շղթայի հատվածքով At ժամանակում անցնող Էլեկտրական լիցքի քանակն Է, իսկ AQ-ն՝ նյութի քա–նակի փոփոխությունը At ժամանակում։ Ընդևանրապևս, ըստ ժամանակի ածանց–յալը պրոցեսի արագության չաֆանիշ է և կիրառելի է բնագիտական ամենատար–բեր հասկացությունների համար։ Դ ի– ֆևրենցիալ։ x0 կետի որևէ շրջա–կայքում որոշված y=f(xj ֆունկցիան կոչվում է դիֆերենցևլի այդ կետում, եթե դրա Ay=f(xo+ Ax)–f(xo) աճը հնարավոր է ներկայացնել Ay = AAx+ aAx տեսքով, որտեղ A– A(xo) և a=a(x, хо)-»0, երբ x–>x0։ AAX-ը կոչվում t f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալ և նշանակվում է dy կամ df(x)։ Դիֆերենցիալը ֆունկցիայի աճի գլխավոր (գծային) մասն է այն առումով, որ սևեռած xo-ի դեպքում dy-ը գծայնորեն է կախված Ax-ից, և Ay–dy տարբերու–թյունն անվերջ փոքր է Ax-ի համեմատու–թյամբ։ Քանի որ անկախ փոՓոխականի դիֆերենցիալը նրա աճն է, այսինքն (dx=Ax), ուստի գրում են dy=Adx։ Որ–պեսզի մեկ փոփոխականի f(x) ֆունկ–ցիան xo կետում ունևնա դիֆերենցիալ, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի այն Xo-nuf ունենա (վերջավոր) ածանցյալ՝ f՝(xo)։ Այդ դեպքումdy=f՝(x0)dx; Տետևա– բար, y՝ = dy/dx հավասարության աջ մա–սը կարելի է հասկանալ ոչ միայն որպես ամբողջական սիմվոլ, այլև դիֆերենցիալ–ների հարաբերություն։ dy=f՝(x)dx հա–վասարության շնորհիվ դիֆերենցիալ հաշ–վելու կանոններն անմիջականորեն բխում են ածանցյալ հաշվելու համապատասխան կանոններից։ Ածանցյալի և դիֆերենցիա–լի գաղափարներն էապես տարբեր են․ տվյալ կետում ածանցյալը թիվ Է, իսկ դիֆերենցիալը՝ Ax-ի նկատմամբ գծային ֆունկցիա։ Երկրաչափորեն դիֆերենցիալը (սևեռած xo-ի և փոփոխվող Ax-ի դեպքում) ցույց է տալիս շոշափողի օրդինատի աճը, այսինքն՝ NT հատվածի երկարությունը (տես նկ․)։ Դիֆերենցիալը սահմանվում է նաև շատ փոփոխականի ֆունկցիայի համար։ Օրինակ, z=f(x,y) երկու Փո–փոխականի ֆունկցիան կոչվում է դի– ֆերենցելի, եթե նրա Az=f(x+Ax, y+ + Ay)–f(x,y) լրիվ աճը հնարավոր է ներկայացնել Az= AAx+ BAy+ a տես–քով, որտեղ ^-ն (x,y) և (x+ Ax, y+Ay) կետերի հեռավորության համեմատությամբ անվերջ փոքր է։ АДх+ BAv գումարը կոչ–վում է z–f(x,y) ֆունկցիայի ւրիվ դիֆերենցիալ, ուր A=f՝x(x0, y0), B = f՝y(x0, y0)։ Ի տարբերություն մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի, երկու փոՓո–խականի ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալների գոյությամբ չի ապահովվում ֆունկցիայի դիֆերենցե– լիությունը։ Բայց եթե մասնակի ածանցյալ–ները նաև անընդհատ են, ապա ֆունկ–ցիան դիֆերենցևլի Է։ Երկրաչափորեն երկու փոփոխականի ֆունկցիայի դիֆե–րենցիալը ցույց է տալիս նրա գրաֆիկի շոշափող հարթության ապլիկատի աճը, երբ անկախ փոփոխականներն ստանում են Ax, Ay աճ։ Բարձր կարգի դիֆերենցիա–լը սահմանվում է մակածմամբ (ինդուկ–ցիայով)․ k-րդ կարգի դիֆերենցիալ հա–մարվում է k-1-րդ կարգի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը՝ dky=d(dk–1y)։ Միայն պետք է նկատի ունենալ, որ անկախ Փո–փոխականի աճը կամայական Է, բայց նույնը՝ բոլոր անհրաժեշտ Փուլերում։ Օրինակ, եթե y=f(x) ֆունկցիան ունի 2-րդ կարգի ածանցյալ և x-ը անկախ փո–փոխական է, ապա d2y = d(dy) = d(y՝dx) = = d(y՝)dx+yrd (dx)=y"dxdx = y"dx2 (և ոչ թե y/rdxdrx)։ Այստեղ y՝d(dx)=0, որովհետև d(dx) = 0, եթե x-ը անկախ է։ Կախյալ փոփոխականի դեպքում d(dx)=^0 և d2y=y"dx2+ y՝d2x, այսինքն՝ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի ձևը փոխվում է (առաջին կարգի դիֆերենցիալի ձևը ին–վարիանտ է․ x-ի թե՛ կախյալ, թե՝ անկախ լինելու դեպքում՝ dy=y՝dx)։ Ուստի, y" = d2y/dx2, y<n>=dny/dxn առնչություն–ները ճիշտ են միայն այն դեպքում, երբ x-ը դիտվում է որպես անկախ փոփոխա–կան։ Գործնականում դիֆերենցիալների օգնությամբ կարելի է հաշվել ֆունկցիա–ների արժեքներ և գնահատել դրանց սխալները։ Օրինակ, Xi կետում f(x) ֆունկ–ցիայի արժեքը հաշվելու համար [եթե հայտնի են f(xo) և f՝(xo)] պետք է ֆունկ–ցիայի աճը վւոխարինել իր դիֆերենցիա–լով։ Մտացվում է f(xi)^f(x0)+ df(x0) = = f(x0)+ f՝(xo) (xi–Xo) մոտավոր հավա–հարությունը, որի սխալը [եթե գոյություն ունի f"(xo)] մոտավորապես հավասար է 1 /2d2f = 1/շ f"(x0)(xi–х0)2։- Դիֆերենցիա–լը սահմանվում է նաև շատ ավելի ընդհա– ււուր դեպքում։ Եթե f(x) ֆունկցիան (ո+1) անգամ դիֆերենցելի է x0 կետի A = = (x0–հ, Xo+h) շրջակայքում, ապա գո–յություն ունի այնպիսի leA, որ A-ում ք^)-ը ներկայացվում Է f՝(Xo) f(x)=f(Xo)+ – (x–x„)+ f"(xo) f<n>(Xo) -I ;–(x–x0)4 1 – (x–x0)n + 21 n! f(n+1>(l) n+1m + - (x–Xo) ( ) (n+l)I բանաձևով (Թեյլորի բանաձև), որն ունի բազմաթիվ կարևոր կիրառու–թյուններ (երբ Xo=0, (*)-ը անվանում են Մակլոր ենի բանաձև)։ Թեյլո– րի բանաձևը թույլ է տալիս տվյալ կետի շրջակայքում կամայական ողորկ (գուցե Լւ շատ բարդ) ֆունկցիան բավական մեծ կշտությամբ փոխարինել բազմանդամով, որն անհամեմատ ավելի պարզ ֆունկցիա Է։ Թեյլորի բանաձևը տեղի ուև նաև շատ փոփոխականի ողորկ ֆունկցիաների հա–մ՜ար և սկզբունքային դեր է կատարում դրանց էքսարեմումների (մաքսիմումների և մինիմումների) հետազոտության հար–ցում։ Դ․ հ–ի կարևորագույն փաստերից է նաև անբացահայտ ֆունկդիայի (մաս–նավորապես հակադարձ ֆունկցիայի) գոյության վերաբերյալ թեորեմը։ Պատմական տեղեկություն– ււ և ր։ Կորերի շոշափողների որոշման և ւիոփոխական մեծությունների առավելա–գույն և նվազագույն արժեքներ գտնելու վերաբերյալ որոշ խնդիրներ լուծել են դեռևս Տին Տունաստաևի մաթեմատիկոս–ները։ Նրանք, օրինակ, գտել են կոնական հատույթների և որոշ այլ կորերի շոշա–