բ. Կեպլերի խնդիրը. երկու մոլորակներ Արեգակի շուրջը կատարում են պարբերական շարժումներ պարփակ ուղեծրերով, որոնցից մեկը (ներքին մոլորակը) միշտ ավելի մոտ է Արեգակին, քան մյուսը: Պարբերությունների հարաբերությունն ունի իռացիոնալ արժեք: Ներքին մոլորակի վրայից որոշվում են ուղղությունները դեպի մյուսը և դեպի Արեգակը՝ ցանկացած պահերի համար: Անհրաժեշտ է այդ դիտումներից որոշել ուղեծրերի ձևերը: Այս խնդրի լուծումը Մարսի և Երկրի ուղեծրերի համար Կեպլերին բերեց մոլորակների պտտման օրենքների հայտնագործմանը (Կեպլերի օրենքներ):
Գալակտիկ աստղագիտություն. ուղիղ խնդիր՝ գնդաձև աստղակույտի համար տրված է աստղերի խտության բաշխումը տարածության մեջ, որպես կենտրոնից նրանց ունեցած հեռավորության ֆունկցիա: Պետք է գտնել աստղերի տեսանելի բաշխումը երկնքի վրա պրոյեկցիայում: Հակադարձ խնդիր՝ տրված է գնդաձև աստղակույտի աստղերի տեսանելի բաշխումը երկնքի վրա, պետք է գտնել աստղերի տարածական բաշխումը կույտի կենտրոնի շուրջը: Հայտնի է, որ այս հակադարձ խնդիրը բերվում է Աբելի ինտեգրալ հավասարման:
Օպտիկա. ուղիղ խնդիր՝ տրված է տարրական ծավալում գտնվող գնդաձև մասնիկներից բաղկացած փոշու մեջ մասնիկների բաշխումն ըստ տրամագծի արժեքների, պետք է գտնել ծավալում լույսի ցրման գործակիցը որպես ալիքի երկարության ֆունկցիա: Հակադարձ խնդիր՝ տրված է տվյալ ծավալում գտնվող նյութից լույսի ցրման գործակիցը: Պետք է գտնել նյութը կազմող գնդաձև մասնիկների տրամագծերի արժեքների բաշխումը: Գրավիմետրիայի հակադարձ խնդիրը. Նյուտոնի ձգողականության օրենքից ելնելով, կարելի է եզրակացնել, որ տվյալ մարմնի շուրջը ձգողականության դաշտը կամ ձգողականության պոտենցիալը կախված է մարմնի մեջ խտության բաշխումից: Այդ պոտենցիալի որոշումը տրված խտության բաշխման դեպքում համարվում է պոտենցիալի տեսության ուղիղ խնդիր: Մարմնի մեջ խտության բաշխումը միարժեքաբար որոշում է ձգողական դաշտը, ինչպես մարմնի ներսում, այնպես էլ դրսում: Հակառակը նույնպես ճիշտ է: Ավելին, բավական է իմանալ պոտենցիալը [φ(x, y, z)] մարմնի միայն ներսում, որ Δφ=4πS բանաձևից, որտեղ A-ն Լապլասի օպերատորն է, գտնվի խտության բաշխումը: Սակայն գրավիմետրիայում, որտեղ խոսքը գնում է Երկրի դաշտի մասին, սովորաբար հնարավոր չէ անմիջապես չափել ձգողական ուժը մոլորակի ներսում: Բայց անհրաժեշտ է պարզել խտության բաշխումը Երկրի բոլոր շերտերում: Գրավիմետրիան ձգտում է այդ բաշխման մասին տեղեկություններ ստանալ՝ արտաքին դաշտի չափումներից ելնելով: Հենց դա է գրավիմետրիայի հակադարձ խնդիրը: Անմիջապես պարզ է, որ այդ խնդիրը չի կարող ունենալ միարժեք լուծում: Դա հետևում է թեկուզ նրանից, որ մարմնի ոլորտային սիմետրիայի մասնավոր դեպքում, երբ մարմնի խտությունը ֆունկցիա է նրա կենտրոնից ունեցած հեռավորությունից, արտաքին պոտենցիալի արժեքները բոլորովին կախված չեն այդ ֆունկցիայի տեսքից: Սակայն ընդհանուր դեպքում, երբ ոլորտային սիմետրիան բացակայում է, կարելի է դաշտը չափելով կարևոր տեղեկություններ ստանալ խտության բաշխման վերաբերյալ:
Ռենտգենախտորոշում. ուղիղ խնդիր՝ տրված է մարմնի մեջ ռենտգենյան ճառագայթների որոշ ալիքների թուլացման գործակիցը՝ որպես երեք տարածական կոորդինատների ֆունկցիա: Պետք է գտնել նույն ալիքում ռենտգենյան յուրաքանչյուր ճառագայթի ընդհանուր թուլացումը մարմնում, երբ այն թափանցում է մարմին ցանկացած տեղում և ցանկացած ուղղությամբ: Հակադարձ խնդիր՝ տրված է տվյալ մարմնի միջով անցնող ամեն մի ուղղով տարածվող ռենտգենյան ճառագայթի համար նրա ինտեգրալ թուլացումը: Պետք է գտնել մարմնի ներսում թուլացման գործակիցը՝ որպես կոորդինատների ֆունկցիա: Այս վերջին հակադարձ խնդիրը տալիս է մի բարդ ինտեգրալ հավասարում, որը պարզեցնելով, կարելի է բերել Աբելի պարզ ինտեգրալ հավասարման: Հ. խ–ի մեթոդաբանական նշանակությունը: Հայտնի է, որ ժամանակակից ճշգրիտ բնագիտության հիմքում ընկած են բնության օրենքները և օրինաչափությունները, որոնք սովորաբար արտահայտվում են մաթեմատիկական հավասարումների ձևով: Այդ օրենքները և օրինաչափությունները թույլ են տալիս մասնավոր իրադրությունների դեպքում կանխահաշվել այս կամ այն երևույթը նկարագրող քանակական չափն լի պարամետրերը կամ ֆունկցիաները: Օրինակ, մարմնի բաղադրության, կառուցվածքի և արտաքին մի շարք պայմանների հիման վրա կարելի է կանխագուշակել (նախահաշվել) նրա բազմաթիվ չափելի հատկությունները և այդ հատկությունների փոփոխությունը՝ կախված արտաքին պայմաններից (ջերմաստիճան, ճնշում ևն): Հակառակ դրան, քանակական ձևով արտահայտված այդ հատկությունները կարող են հիմք ծառայել մարմնի կառուցվածքը և բաղադրությունը որոշելու համար: Ավելին, տարբեր ձևով կառուցված մարմինների դեպքում, որոշելով պարամետրերը և ֆունկցիաները, մենք կարող ենք նաև փորձել գտնել այն հիմնական օրինաչափությունները, որոնք ուղիղ խնդրում համարվում են տրված: Կեպլերի օրենքներից ձգողականության օրենքի արտածումը Նյուտոնի կողմից նման հակադարձ խնդրի լուծման մի դեպք է, երբ դիտվող մասնավոր քանակական(այդ թվում և՝ երկրաչափական) օրինաչափությունների հիման վրա դուրս է բերվել ավելի հիմնական և ընդհանուր օրենք: Այսպիսով, բնության օրենքների և օրինաչափությունների հայտնագործման համար կարող են լինել երկու իրար հակառակ մոտեցումներ, ա. ընդունվում է օրենքի այս կամ այն ենթադրական ձև (օրինակ, կոնկրետ ձևի դիֆերենցիալ հավասարում), որը լուծվում է տարբեր կոնկրետ պայմանների համար, այստեղից գտնվում են չափելի մեծությունների «տեսական» արժեքները և համեմատվում փորձերի կամ դիտումների արդյունքների հետ: Եթե հա մաձայնություն չի ստացվում, եզրակացվում է, որ օրենքի ընդունված ձևը սխալ է և փորձում են այլ հնարավոր ձե: Այսպիսով, ընթանալով «փորձ ու սխալ» ուղիով, երբեմն կարելի է հասնել իսկական օրենքի: Ավելի կոնկրետ դեպքերում, երբ հարցը վերաբերում է այս կամ այնմարմնի կառուցվածքին (մի կառուցվածք, որը հնարավոր չէ անմիջապես դիտել, օրինակ, աստղի կառուցվածքը) կամ որևէ երևույթի պատճառներին (երբ այդ պատճառներն անմիջապես չեն դիտվում), ընդունելով այդ կառուցվածքի կամ երևույթի պատճառների մասին որոշակի ենթադրություններ, որոնք պետք է ստուգվեն, մենք խոսում ենք կառուցվածքի կամ պատճառների մոդելի մասին: Ընդունելով այդ մոդելը, նրա հիման վրա հաշվում ենք դիտվող և չափվող մեծությունների արժեքները և համեմատում դիտման արդյունքների հետ: Բոլոր նման դեպքերում հիմքում դրվում է մի մոդել՝ որպես մի վարկած, որը և պետք է փորձարկվի: Այս մոտեցումը կարելի է անվանել «մոդելների մեթոդ»: բ. Կառուցվում են հավասարումներ, որոնք դիտումների արդյունքները կապում են հիմնական օրենքի ձևի (առանց վերջինիս կոնկրետացման), մարմնի կառուցվածքի կամ էլ երևույթի պատճառների հետ, որից հետո կոնկրետ չափումների հիման վրա այստեղից անմիջապես ստացվում են փնտրվող կոնկրետ օրենքը, օրինաչափությունը, մարմնի կառուցվածքը կամ երևույթի պատճառները: Այս երկրորդ մոտեցումը կարելի է անվանել մոտեցում հակադարձ խնդիրների տեսակետից: Քանի որ գիտությունը պետք է իր հիմքում ունենա փաստական տվյալներ, որոնք ստացվում են փորձերից, դիտումներից ու չափումներից և, մյուս կողմից, գիտության նպատակն է գտնել կա՝մ հիմնական օրենքներն ու օրինաչափությունները, կա՝մ օբյեկտների կառուցվածքն ու կոնկրետ երևույթների պատճառները, ապա թվում է, որ երկրորդ մոտեցումն է ավելի անմիջականը և ավելի ուղղակին: Սակայն պատմականորեն ստացվել է այնպես, որ ա. մոտեցումը կոչվել է ուղիղ խնդիրների, իսկ բ. մոտեցումը՝ Հ. խ–ի ճանապարհ: Բնական է հարցնել, արդյոք բ. մոտեցումը թույլ տալի՞ս է գտնել բնության օրինաչափությունները կամ այլ խնդիրների լուծումները անմիջապես դիտումներից, առանց որևէ ենթադրությունների: Իհարկե, ոչ: Որոշ, շատ ընդհանուր ենթացֆբ. Կեպլերի խնդիրը. երկու մոլորակներ Արեգակի շուրջը կատարում են պարբերական շարժումներ պարփակ ուղեծրերով, որոնցից մեկը (ներքին մոլորակը) միշտ ավելի մոտ է Արեգակին, քան մյուսը: Պարբերությունների հարաբերությունն ունի իռացիոնալ արժեք: Ներքին մոլորակի վրայից որոշվում են ուղղությունները դեպի մյուսը և դեպի Արեգակը՝ ցանկացած պահերի համար: Անհրաժեշտ է այդ դիտումներից որոշել ուղեծրերի ձևերը: Այս խնդրի լուծումը Մարսի և Երկրի ուղեծրերի համար Կեպլերին բերեց մոլորակների պտտման օրենքների հայտնագործմանը (Կեպլերի օրենքներ):
Գալակտիկ աստղագիտություն. ուղիղ խնդիր՝ գնդաձև աստղակույտի համար տրված է աստղերի խտության բաշխումը տարածության մեջ, որպես կենտրոնից նրանց ունեցած հեռավորության ֆունկցիա: Պետք է գտնել աստղերի տեսանելի բաշխումը երկնքի վրա պրոյեկցիայում: Հակադարձ խնդիր՝ տրված է գնդաձև աստղակույտի աստղերի տեսանելի բաշխումը երկնքի վրա, պետք է գտնել աստղերի տարածական բաշխումը կույտի կենտրոնի շուրջը: Հայտնի է, որ այս հակադարձ խնդիրը բերվում է Աբելի ինտեգրալ հավասարման:
Օպտիկա. ուղիղ խնդիր՝ տրված է տարրական ծավալում գտնվող գնդաձև մասնիկներից բաղկացած փոշու մեջ մասնիկների բաշխումն ըստ տրամագծի արժեքների, պետք է գտնել ծավալում լույսի ցրման գործակիցը որպես ալիքի երկարության ֆունկցիա: Հակադարձ խնդիր՝ տրված է տվյալ ծավալում գտնվող նյութից լույսի ցրման գործակիցը: Պետք է գտնել նյութը կազմող գնդաձև մասնիկների տրամագծերի արժեքների բաշխումը:
Գրավիմետրիայի հակադարձ խնդիրը. Նյուտոնի ձգողականության օրենքից ելնելով, կարելի է եզրակացնել, որ տվյալ մարմնի շուրջը ձգողականության դաշտը կամ ձգողականության պոտենցիալը կախված է մարմնի մեջ խտության բաշխումից: Այդ պոտենցիալի որոշումը տրված խտության բաշխման դեպքում համարվում է պոտենցիալի տեսության ուղիղ խնդիր: Մարմնի մեջ խտության բաշխումը միարժեքաբար որոշում է ձգողական դաշտը, ինչպես մարմնի ներսում, այնպես էլ դրսում: Հակառակը նույնպես ճիշտ է: Ավելին, բավական է իմանալ պոտենցիալը [φ(x, y, z)] մարմնի միայն ներ- սում, որ Δφ=4πS բանաձևից, որտեղ Δ-ն Լապլասի օպերատորն է, գտնվի խտության բաշխումը: Սակայն գրավիմետրիայում, որտեղ խոսքը գնում է Երկրի դաշտի մասին, սովորաբար հնարավոր չէ անմիջապես չափել ձգողական ուժը մոլորակի ներսում: Բայց անհրաժեշտ է պարզել խտության բաշխումը Երկրի բոլոր շերտերում: Գրավիմետրիան ձգտում է այդ բաշխման մասին տեղեկություններ ստանալ՝ արտաքին դաշտի չափումներից ելնելով: Հենց դա է գրավիմետրիայի հակադարձ խնդիրը: Անմիջապես պարզ է, որ այդ խնդիրը չի կարող ունենալ միարժեք լուծում: Դա հետևում է թեկուզ նրանից, որ մարմնի ոլորտային սիմետրիայի մասնավոր դեպքում, երբ մարմնի խտությունը ֆունկցիա է նրա կենտրոնից ունեցած հեռավորությունից, արտաքին պոտենցիալի արժեքները բոլորովին կախված չեն այդ ֆունկցիայի տեսքից: Սակայն ընդհանուր դեպքում, երբ ոլորտային սիմետրիան բացակայում է, կարելի է դաշտը չափելով կարևոր տեղեկություններ ստանալ խտության բաշխման վերաբերյալ:
Ռենտգենախտորոշում. ուղիղ խնդիր՝ տրված է մարմնի մեջ ռենտգենյան ճառագայթների որոշ ալիքների թուլացման գործակիցը՝ որպես երեք տարածական կոորդինատների ֆունկցիա: Պետք է գտնել նույն ալիքում ռենտգենյան յուրաքանչյուր ճառագայթի ընդհանուր թուլացումը մարմնում, երբ այն թափանցում է մարմին ցանկացած տեղում և ցանկացած ուղղությամբ: Հակադարձ խնդիր՝ տրված է տվյալ մարմնի միջով անցնող ամեն մի ուղղով տարածվող ռենտգենյան ճառագայթի համար նրա ինտեգրալ թուլացումը: Պետք է գտնել մարմնի ներսում թուլացման գործակիցը՝ որպես կոորդինատների ֆունկցիա: Այս վերջին հակադարձ խնդիրը տալիս է մի բարդ ինտեգրալ հավասարում, որը պարզեցնելով, կարելի է բերել Աբելի պարզ ինտեգրալ հավասարման:
Հ. խ–ի մեթոդաբանական նշանակությունը: Հայտնի է, որ ժամանակակից ճշգրիտ բնագիտության հիմքում ընկած են բնության օրենքները և օրինաչափությունները, որոնք սովորաբար արտահայտվում են մաթեմատիկական հավասարումների ձևով: Այդ օրենքները և օրինաչափությունները թույլ են տալիս մասնավոր իրադրությունների դեպքում կանխահաշվել այս կամ այն երևույթը նկարագրող քանակական չափելի պարամետրերը կամ ֆունկցիաները: Օրինակ, մարմնի բաղադրության, կառուցվածքի և արտաքին մի շարք պայմանների հիման վրա կարելի է կանխագուշակել (նախահաշվել) նրա բազմաթիվ չափելի հատկությունները և այդ հատկությունների փոփոխությունը՝ կախված արտաքին պայմաններից (ջերմաստիճան, ճնշում ևն): Հակառակ դրան, քանակական ձևով արտահայտված այդ հատկությունները կարող են հիմք ծառայել մարմնի կառուցվածքը և բաղադրությունը որոշելու համար: Ավելին, տարբեր ձևով կառուցված մարմինների դեպքում, որոշելով պարամետրերը և ֆունկցիաները, մենք կարող ենք նաև փորձել գտնել այն հիմնական օրինաչափությունները, որոնք ուղիղ խնդրում համարվում են տրված: Կեպլերի օրենքներից ձգողականության օրենքի արտածումը Նյուտոնի կողմից նման հակադարձ խնդրի լուծման մի դեպք է, երբ դիտվող մասնավոր քանակական(այդ թվում և՝ երկրաչափական) օրինաչափությունների հիման վրա դուրս է բերվել ավելի հիմնական և ընդհանուր օրենք: Այսպիսով, բնության օրենքների և օրինաչափությունների հայտնագործման համար կարող են լինել երկու իրար հակառակ մոտեցումներ, ա. ընդունվում է օրենքի այս կամ այն ենթադրական ձև (օրինակ, կոնկրետ ձևի դիֆերենցիալ հավասարում), որը լուծվում է տարբեր կոնկրետ պայմանների համար, այստեղից գտնվում են չափելի մեծությունների «տեսական» արժեքները և համեմատվում փորձերի կամ դիտումների արդյունքների հետ: Եթե համաձայնություն չի ստացվում, եզրակացվում է, որ օրենքի ընդունված ձևը սխալ է և փորձում են այլ հնարավոր ձե: Այսպիսով, ընթանալով «փորձ ու սխալ» ուղիով, երբեմն կարելի է հասնել իսկական օրենքի: Ավելի կոնկրետ դեպքերում, երբ հարցը վերաբերում է այս կամ այն մարմնի կառուցվածքին (մի կառուցվածք, որը հնարավոր չէ անմիջապես դիտել, օրինակ, աստղի կառուցվածքը) կամ որևէ երևույթի պատճառներին (երբ այդ պատճառներն անմիջապես չեն դիտվում), ընդունելով այդ կառուցվածքի կամ երևույթի պատճառների մասին որոշակի ենթադրություններ, որոնք պետք է ստուգվեն, մենք խոսում ենք կառուցվածքի կամ պատճառների մոդելի մասին: Ընդունելով այդ մոդելը, նրա հիման վրա հաշվում ենք դիտվող և չափվող մեծությունների արժեքները և համեմատում դիտման արդյունքների հետ: Բոլոր նման դեպքերում հիմքում դրվում է մի մոդել՝ որպես մի վարկած, որը և պետք է փորձարկվի: Այս մոտեցումը կարելի է անվանել «մոդելների մեթոդ»: բ. Կառուցվում են հավասարումներ, որոնք դիտումների արդյունքները կապում են հիմնական օրենքի ձևի (առանց վերջինիս կոնկրետացման), մարմնի կառուցվածքի կամ էլ երևույթի պատճառների հետ, որից հետո կոնկրետ չափումների հիման վրա այստեղից անմիջապես ստացվում են փնտրվող կոնկրետ օրենքը, օրինաչափությունը, մարմնի կառուցվածքը կամ երևույթի պատճառները: Այս երկրորդ մոտեցումը կարելի է անվանել մոտեցում հակադարձ խնդիրների տեսակետից:
Քանի որ գիտությունը պետք է իր հիմքում ունենա փաստական տվյալներ, որոնք ստացվում են փորձերից, դիտումներից ու չափումներից և, մյուս կողմից, գիտության նպատակն է գտնել կա՛մ հիմնական օրենքներն ու օրինաչափությունները, կա՛մ օբյեկտների կառուցվածքն ու կոնկրետ երևույթների պատճառները, ապա թվում է, որ երկրորդ մոտեցումն է ավելի անմիջականը և ավելի ուղղակին: Սակայն պատմականորեն ստացվել է այնպես, որ ա. մոտեցումը կոչվել է ուղիղ խնդիրների, իսկ բ. մոտեցումը՝ Հ. խ–ի ճանապարհ: Բնական է հարցնել, արդյոք բ. մոտեցումը թույլ տալի՞ս է գտնել բնության օրինաչափությունները կամ այլ խնդիրների լուծումները անմիջապես դիտումներից, առանց որևէ ենթադրությունների: Իհարկե, ոչ: Որոշ, շատ ընդհանուր ենթադրություններ, որոնց ճշմարտությունը հետևում է այնպիսի հանգամանքներից, որոնք իրենց հերթին քիչ թե շատ անկախ են տվյալ կոնկրետ դեպքում օգտագործվող դիտողական տվյալներից, լինում են անհրաժեշտ: Օրինակ, վերևում բերված աստղագիտական խնդրում, որտեղ անհրաժեշտ է որոշել գնդաձև աստղակույտի մեջ աստղերի տարածական բաշխումը, ենթադրվում է, որ աստղակույտի մեջ դրություններ, որոնց ճշմարտությունը հետևում է այնպիսի հանգամանքներից, որոնք իրենց հերթին քիչ թե շատ անկախ են տվյալ կոնկրետ դեպքում օգտագործվող դիտողական տվյալներից, լինում են անհրաժեշտ: Օրինակ, վերևում բերված աստղագիտական խնդրում, որտեղ անհրաժեշտ է որոշել գնդաձև աստղակույտի մեջ աստղերի տարածական բաշխումը, ենթադրվում է, որ աստղակույտի մեջ
